Let x be the fixed element in the Klein four group V_4
(with u as the identity element).
Let f be an involutive automorphism of S_3. Define a
binary operation on the direct product of V_4 and S_3
as follows:
(u,r)*(x,s)=(u*x,f(r)*s)
(x,r)*(x,s)=(x*x,f(r)*f(s))
(x,r)*(u,s)=(x*u,r*f(s))
(i,r)*(j,s)=(i*j,r*s)
where i,j in V_4-{x}.
If f is a non-trivial automorphism,
then this loop is non-associative.
More generally it isn't alternative. Hence it isn't a group.
In particular, we have
(y,r)*[(x,s)*(x,s)] = (y,r)*(u,f(s*s)) = (y,r*f(s*s))
[(y,r)*(x,s)]*(x,s) = (z,r*s)*(x,s) = (y,r*s*s)
and
[(x,s)*(x,s)]*(y,r) = (u,f(s*s))*(y,r) = (y,f(s*s)*r)
(x,s)*[(x,s)*(y,r)] = (x,s)*(z,s*r) = (y,s*s*r)
Here is an example (in this case f(s)=2*s*2).
* | ue u1 u2 u3 ua ub xe x1 x2 x3 xa xb ye y1 y2 y3 ya yb ze z1 z2 z3 za zb
-----------------------------------------------------------------------------
ue | ue u1 u2 u3 ua ub xe x1 x2 x3 xa xb ye y1 y2 y3 ya yb ze z1 z2 z3 za zb
u1 | u1 ue ua ub u2 u3 x1 xe xa xb x2 x3 y3 ya yb ye y1 y2 z1 ze za zb z2 z3
u2 | u2 ub ue ua u3 u1 x3 xa xb xe x1 x2 y2 yb ye ya y3 y1 z2 zb ze za z3 z1
u3 | u3 ua ub ue u1 u2 x2 xb xe xa x3 x1 y1 ye ya yb y2 y3 z3 za zb ze z1 z2
ua | ua u3 u1 u2 ub ue xb x2 x3 x1 xe xa yb y2 y3 y1 ye ya za z3 z1 z2 zb ze
ub | ub u2 u3 u1 ue ua xa x3 x1 x2 xb xe ya y3 y1 y2 yb ye zb z2 z3 z1 ze za
xe | xe x1 x3 x2 xb xa ue u1 u3 u2 ub ua ze z1 z2 z3 za zb ye y1 y2 y3 ya yb
x1 | x1 xe xb xa x3 x2 u1 ue ub ua u3 u2 z1 ze za zb z2 z3 y1 ye ya yb y2 y3
x2 | x2 xb xa xe x1 x3 u3 ua ue ub u2 u1 z2 zb ze za z3 z1 y2 yb ye ya y3 y1
x3 | x3 xa xe xb x2 x1 u2 ub ua ue u1 u3 z3 za zb ze z1 z2 y3 ya yb ye y1 y2
xa | xa x3 x2 x1 xe xb ub u2 u1 u3 ua ue za z3 z1 z2 zb ze ya y3 y1 y2 yb ye
xb | xb x2 x1 x3 xa xe ua u3 u2 u1 ue ub zb z2 z3 z1 ze za yb y2 y3 y1 ye ya
ye | ye y3 y2 y1 yb ya ze z1 z2 z3 za zb ue u3 u2 u1 ub ua xe x1 x2 x3 xa xb
y1 | y1 yb ya ye y3 y2 z1 ze za zb z2 z3 u3 ue ub ua u2 u1 x1 xe xa xb x2 x3
y2 | y2 ya ye yb y1 y3 z2 zb ze za z3 z1 u2 ua ue ub u1 u3 x2 xb xe xa x3 x1
y3 | y3 ye yb ya y2 y1 z3 za zb ze z1 z2 u1 ub ua ue u3 u2 x3 xa xb xe x1 x2
ya | ya y2 y1 y3 ye yb za z3 z1 z2 zb ze ub u1 u3 u2 ua ue xa x3 x1 x2 xb xe
yb | yb y1 y3 y2 ya ye zb z2 z3 z1 ze za ua u2 u1 u3 ue ub xb x2 x3 x1 xe xa
ze | ze z1 z2 z3 za zb ye y1 y2 y3 ya yb xe x1 x2 x3 xa xb ue u1 u2 u3 ua ub
z1 | z1 ze za zb z2 z3 y1 ye ya yb y2 y3 x1 xe xa xb x2 x3 u1 ue ua ub u2 u3
z2 | z2 zb ze za z3 z1 y2 yb ye ya y3 y1 x2 xb xe xa x3 x1 u2 ub ue ua u3 u1
z3 | z3 za zb ze z1 z2 y3 ya yb ye y1 y2 x3 xa xb xe x1 x2 u3 ua ub ue u1 u2
za | za z3 z1 z2 zb ze ya y3 y1 y2 yb ye xa x3 x1 x2 xb xe ua u3 u1 u2 ub ue
zb | zb z2 z3 z1 ze za yb y2 y3 y1 ye ya xb x2 x3 x1 xe xa ub u2 u3 u1 ue ua